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第1章 预备知识1

1.1 实数与复数1

1.1.1 实数1

1.1.2 复数5

习题1.17

1.2 集合的概念8

1.2.1 集合的概念8

1.2.2 集合的包含与相等9

1.2.3 集合的运算10

1.2.4 区间与邻域11

习题1.213

1.3 等式与不等式14

1.3.1 等式14

1.3.2 不等式17

习题1.320

1.4 极坐标21

1.4.1 极坐标的概念21

1.4.2 极坐标与平面直角坐标的关系23

习题1.424

第2章 函数及其图形25

2.1 常量与变量25

习题2.125

2.2 映射26

2.2.1 映射的概念26

2.2.2 几种重要映射27

习题2.228

2.3 函数28

2.3.1 函数及其图形28

2.3.2 函数的表示法29

2.3.3 函数的四则运算31

2.3.4 特殊函数31

2.3.5 函数的几种特性32

习题2.335

2.4 初等函数36

2.4.1 基本初等函数36

2.4.2 初等函数46

习题2.447

2.5 一元多项式及其运算48

习题2.550

第3章 极限与连续51

3.1 数列的极限51

3.1.1 引例51

3.1.2 数列极限的描述性定义51

3.1.3 数列极限的规范化定义53

3.1.4 数列极限的性质55

习题3.158

3.2 函数的极限59

3.2.1 自变量趋于无穷大时函数的极限59

3.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限60

3.2.3 函数极限的性质和两个重要极限62

习题3.264

3.3 无穷大与无穷小64

3.3.1 无穷大64

3.3.2 无穷小65

3.3.3 无穷大与无穷小的关系67

习题3.368

3.4 极限运算法则68

习题3.472

3.5 函数的连续性73

3.5.1 连续与间断73

3.5.2 连续函数的运算与初等函数的连续性75

习题3.578

3.6 闭区间上连续函数的性质78

习题3.680

第4章 导数与微分81

4.1 导数的概念81

4.1.1 引例81

4.1.2 导数的定义82

4.1.3 导数的几何意义87

4.1.4 函数可导性与连续性的关系88

习题4.189

4.2 求导法则90

4.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则90

4.2.2 反函数求导法则92

4.2.3 复合函数求导法则94

4.2.4 初等函数的导数95

4.2.5 一些特殊函数的求导方法96

习题4.299

4.3 高阶导数101

习题4.3104

4.4 函数的微分105

4.4.1 微分的概念105

4.4.2 微分的几何意义108

4.4.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则108

4.4.4 微分在近似计算中的应用110

习题4.4111

第5章 中值定理和导数的应用113

5.1 中值定理113

5.1.1 罗尔定理113

5.1.2 拉格朗日中值定理115

5.1.3 柯西中值定理117

5.1.4 泰勒中值定理117

习题5.1119

5.2 洛必达法则120

习题5.2127

5.3 函数的单调性与凹凸性的判别法128

5.3.1 函数单调性的判别法128

5.3.2 函数极值的求法129

5.3.3 函数凹凸性的判别法130

习题5.3132

5.4 函数图形的描绘133

5.4.1 曲线的渐近线133

5.4.2 函数图形的描绘135

习题5.4137

5.5 平面曲线的曲率138

5.5.1 弧微分138

5.5.2 曲率139

5.5.3 曲率半径与曲率圆142

习题5.5143

第6章 不定积分145

6.1 不定积分的概念与性质145

6.1.1 原函数与不定积分的概念145

6.1.2 不定积分的基本积分表146

6.1.3 不定积分的性质147

习题6.1149

6.2 不定积分的计算149

6.2.1 第一类换元法150

6.2.2 第二类换元法153

6.2.3 分部积分法156

6.2.4 有理函数与三角有理函数的积分计算161

习题6.2165

第7章 定积分及其应用167

7.1 定积分的概念与性质167

7.1.1 引例167

7.1.2 定积分的概念169

7.1.3 定积分的性质171

习题7.1173

7.2 定积分的计算174

7.2.1 积分上限的函数及其导数174

7.2.2 牛顿—莱布尼茨公式176

7.2.3 定积分的换元法178

7.2.4 定积分的分部积分法181

习题7.2181

7.3 广义积分183

7.3.1 无穷区间上的广义积分183

7.3.2 无界函数的广义积分184

习题7.3186

7.4 定积分在几何上的应用186

7.4.1 定积分应用中的微元法186

7.4.2 平面图形的面积187

7.4.3 体积191

7.4.4 平面曲线的弧长193

习题7.4194

7.5 定积分在物理上的应用195

7.5.1 变力沿直线所做的功195

7.5.2 水的压力196

7.5.3 引力197

习题7.5198

第8章 微分方程200

8.1 微分方程的基本概念200

习题8.1202

8.2 一阶微分方程202

8.2.1 可分离变量的微分方程203

8.2.2 一阶线性微分方程205

习题8.2208

8.3 可降阶的高阶方程209

8.3.1 形如y(n)=f（x）的微分方程209

8.3.2 形如y″＝f（x,y′）的微分方程210

8.3.3 形如y″＝f（y,y′）的微分方程211

习题8.3212

8.4 二阶常系数齐次线性微分方程212

8.4.1 解的性质和结构212

8.4.2 求解方法214

习题8.4217

8.5 二阶常系数非齐次线性微分方程217

8.5.1 解的性质和结构218

8.5.2 求解方法218

习题8.5222

第9章 无穷级数223

9.1 常数项级数的概念和性质223

9.1.1 常数项级数的概念223

9.1.2 收敛级数的性质225

习题9.1227

9.2 常数项级数的审敛法227

9.2.1 正项级数228

9.2.2 交错级数232

9.2.3 绝对收敛与条件收敛232

习题9.2234

9.3 幂级数234

9.3.1 幂级数的概念235

9.3.2 幂级数的收敛区间236

9.3.3 幂级数的性质239

习题9.3240

9.4 函数展开成幂级数241

9.4.1 泰勒级数241

9.4.2 函数展开成幂级数242

9.4.3 函数的幂级数展开式的应用245

习题9.4246

9.5 傅里叶级数247

9.5.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数247

9.5.2 正弦级数和余弦级数250

9.5.3 以2l为周期的函数展开成傅里叶级数252

习题9.5253

参考文献254