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第1章 变换群与几何学1

1．1 引言1

1．2 仿射坐标变换3

1．3 超平面6

1．4 二次超曲面8

1．5 仿射变换群13

1．6 仿射几何学大意19

1．7 等距变换群21

1．8 体积问题24

1．9 射影平面27

1．10 射影变换31

1．11 群在集合上的作用35

第2章 微分流形38

2．1 引言38

2．2 Rn中的映射的连续概念39

2．3 Rn中的映射的微分概念43

2．4 隐函数定理48

2．5 正则超曲面52

2．6 微分流形57

2．7 可微映射64

2．8 切映射66

2．9 子流形71

2．10 单位分解73

第3章 切丛与向量场75

3．1 切丛与向量场的基本知识75

3．2 相流80

3．3 李导数与括号积84

3．4 弗罗贝尼乌斯定理89

第4章 微分形式93

4．1 代数预备知识——对偶空间93

4．2 余切空间98

4．3 1次微分形式102

4．4 代数预备知识——外积105

4．5 一般微分形式109

4．6 外微分运算112

4．7 链上的积分117

4．8 斯托克斯公式123

4．9 流形上的积分125

4．10 应用——辛形式129

第5章 李群133

5．1 基本概念133

5．2 若干重要的例子140

5．3 李群的表示144

5．4 李群SU（2）与SO（3）149

5．5 李群在流形上的作用154

5．6 应用——力学中的对称性158

第6章 微分几何的基本概念160

6．1 曲率概念速成160

6．2 联络与平行移动165

6．3 黎曼流形的概念172

6．4 黎曼流形上的相容联络177

6．5 几点注释183

6．6 纤维丛的概念185

6．7 活动标架法190

6．8 自然界中的联络196

第7章 从微分流形看拓扑学199

7．1 引言199

7．2 德拉姆上同调200

7．3 同伦205

7．4 德拉姆上同调的同伦型不变性211

7．5 计算方法——正合序列214

7．6 同调群218

7．7 德拉姆定理226

7．8 庞加莱对偶、映射度、相交数229

7．9 应用237

7．10 再谈纤维丛241

7．11 几点注释245

第8章 代数曲线浅说252

8．1 代数预备知识——极大理想与素理想252

8．2 仿射代数簇256

8．3 平面代数曲线261

8．4 奇异点264

8．5 射影代数簇268

8．6 再谈平面代数曲线272

8．7 黎曼曲面简介276

8．8 几点注释284

附录291

参考文献298

索引300