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第一编 Goncharov论复变函数3

第一章 复数3

1.1 毕卡其人3

1.2 复数集5

1.3 复数的四则运算9

1.4 共轭数16

1.5 复数的三角写法·模和辐角17

1.6 复数运算的几何说明20

1.7 模与辐角的性质23

习题27

第二章 函数·极限·级数29

2.1 函数的概念·平面到平面上的映象29

2.2 数列的极限34

2.3 函数的极限·连续性44

2.4 数字级数50

2.5 几何级数（及其有关的级数）56

习题60

第三章 整有理函数和分式有理函数62

3.1 多项式的概念62

3.2 多项式的性质·代数学的基本定理64

3.3 有理函数的概念72

3.4 有理函数的性质·展成初等分式74

3.5 将有理函数按z—z0的幂展开81

习题92

第四章 初等超越函数94

4.1 指数函数·欧拉公式94

4.2 圆（三角）函数和双曲函数104

4.3 欧拉公式应用举例113

4.4 圆正切和双曲正切119

4.5 对数120

4.6 任意的幂和根124

4.7 反三角函数和反双曲函数127

习题129

第五章 导数及积分132

5.1 复变函数导数的概念132

5.2 初等函数的导数139

5.3 柯西-黎曼条件144

5.4 积分法的基本引理149

5.5 原函数150

5.6 复积分的概念155

5.7 复积分的性质163

5.8 视作原函数增量的定积分169

5.9 复积分与积分路径无关的条件172

5.10 闭曲线上的积分176

5.11 由积分来定义对数181

5.12 求有理函数的积分184

习题186

第六章 函数列和函数级数189

6.1 关于一致收敛的一般知识189

6.2 幂级数和它的性质197

6.3 泰勒级数212

6.4 幂级数的演算方法218

6.5 在所与区域内为一致收敛的由一般形状的多项式做成的级数（和序列）227

6.6 分式有理函数做成的级数（序列）233

6.7 另外的级数和序列238

习题243

第七章 柯西积分、解析函数的概念246

7.1 与参数有关的积分246

7.2 多项式情形的柯西积分254

7.3 以柯西积分表示复变函数的条件255

7.4 将复变函数展成幂级数257

7.5 解析（正则）函数的概念260

7.6 用多项式逼近解析函数266

7.7 解析函数的性质269

7.8 维尔斯特拉斯关于解析函数列极限的定理275

7.9 解析拓展280

7.10 黎曼曲面292

7.11 解析函数与解析表示299

习题302

第八章 奇点、复变函数论在代数和分析上的应用304

8.1 整函数及其在无限远点的变化304

8.2 单值函数的孤立奇点、极点和本性奇点308

8.3 在孤立奇点邻域内的洛朗展开式314

8.4 柯西残数定理318

8.5 沿闭曲线所取的对数导数的积分·多项式在所与曲线内零点的数目·代数学的基本定理321

8.6 高斯-卢卡定理325

8.7 几个利用残数计算定积分的例子327

习题331

第九章 保角映象、复变函数论在物理问题中的应用、复变函数论的流体力学解释334

9.1 保角性334

9.2 地图制图学问题：球面到平面的保角映象341

9.3 导数的几何意义343

9.4 保角映象的图像表示法347

9.5 黎曼关于保角映象的基本定理350

9.6 拉普拉斯方程·调和函数及它的应用352

9.7 常数模曲线与常数辐角曲线的某些性质359

9.8 复变函数论的流体力学表示362

习题376

第二编 Markushevi？论整函数381

第十章 整函数的概念381

第十一章 最大模和整函数的级397

第十二章 整函数的零点421

第十三章 高等代数基本定理和毕卡小定理430

第十四章 代数关系式·加法定理447

第三编 Picard大定理471

第十五章 毕卡大定理471

15.1 引言471

15.2 毕卡的证明472

15.3 博雷尔和萧特基的证明479

15.4 阿尔福斯的拓扑学证明482

参考文献483

第十六章 与整函数毕卡定理相关的两个定理485

16.1 引言485

16.2 缺项幂级数486

16.3 朱利亚线489

16.4 例和练习494

参考文献496

第十七章 代数曲面498

17.1 定义498

17.2 欧拉示性数和基数原理500

17.3 几何亏格502

17.4 典则除子504

17.5 除子的相交数505

17.6 符号差定理及诺特定理506

17.7 毕卡数508

17.8 奇点511

17.9 极大化曲线514

17.10 果园问题519

17.11 曲面的分类522

参考文献525

附录Ⅰ 毕业定理的另一证法526

1 Picard定理的另一证法526

2 毕卡小定理538

3 周期整函数·维尔斯特拉斯定理554

附录Ⅱ 微分多项式的Picard集564

1 引言及结论565

2 引理568

3 定理1的证明574

4 定理2的证明584

参考文献586

编辑手记588