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9　微分方程1

9.1　微分方程的基本概念1

9.1.1　定义1

目录1

9.1.2　建立微分方程举例5

9.2　一阶微分方程11

9.2.1　可分离变量的方程12

9.2.2　一阶线性方程18

9.2.3　齐次型方程23

9.2.4　伯努里方程27

9.3.1　形如y（n）＝f（x）的微分方程34

9.3　可降阶的高阶微分方程34

9.3.2　形如y″＝f（x，y′）的微分方程35

9.3.3　形如y″＝f（y，y′）的微分方程40

9.4　线性微分方程44

9.4.1　二阶线性微分方程和解的存在性44

9.4.2　二阶线性微分方程解的结构46

9.4.3　二阶线性常系数微分方程的解法54

9.4.4　高阶线性常系数方程及线性方程组68

9.4.5 欧拉（Euler）方程72

9.5　微分方程近似解法简介77

9.5.1　欧拉法77

9.5.2　梯形法和改进欧拉法80

9.5.3　四阶龙格-库塔法81

9.6　微分方程应用举例83

9.6.1　弹性横梁的振动83

9.6.2　死亡时间的推测84

9.6.3　放射性废物的处理86

9.6.4 桥墩形状问题87

9.6.5　中间贮槽的容积88

9.7　差分方程90

9.7.1　差分与差分方程90

9.7.2　线性差分方程及其解的结构91

9.7.3　一阶常系数线性差分方程解法之一：迭代法92

9.7.4 一阶常系数线性差分方程解法之二：特征根与待定系数93

9.7.5　二阶常系数线性齐次差分方程96

9.7.6　一个应用实例98

9.8　数学模型与数学实验100

第9章　总习题105

10 向量与空间解析几何108

10.1　向量及其运算108

10.1.1　向量的概念108

10.1.2　向量的线性运算109

10.1.3　内积114

10.1.4　向量的外积与混合积117

10.2.1　空间直角坐标系121

10.2　空间直角坐标系与向量代数121

10.2.2　向量沿坐标轴的分解122

10.2.3　向量代数124

10.3　平面与直线132

10.3.1　平面133

10.3.2　直线140

10.3.3　几个有关问题143

10.4　空间曲面152

10.4.1　三种特殊曲面153

10.4.2　二次曲面157

10.5.2　空间曲线165

10.5.1 向量函数165

10.5 向量函数　空间曲线165

10.5.3　向量函数的导数169

10.5.4　向量函数的积分　空间曲线的弧长171

10.6　数学模型与数学实验举例174

10.6.1　向量及其运算174

10.6.2　空间图形的绘制175

第10章　总习题178

11 多元函数微分学182

11.1　多元函数182

11.1.1　多元函数的概念182

11.1.2　点集的基本知识185

11.1.3　二元函数的几何表示187

11.1.4　多元函数的极限190

11.1.5　多元函数的连续性193

11.2　偏导数198

11.2.1　偏导数的概念198

11.2.2　全微分的概念203

11.2.3　全微分在近似计算中的应用208

11.2.4　方向导数及梯度211

11.3　复合函数微分法219

11.3.1　链式法则220

11.3.2　全微分的形式不变性226

11.4.1 由一个方程确定的隐函数230

11.4　隐函数微分法230

11.4.2 由方程组确定的隐函数233

11.4.3　隐函数存在定理237

11.5　多元函数微分学在几何学上的应用240

11.5.1 空间曲线的切线与法平面240

11.5.2　空间曲面的切平面与法线243

11.6　泰勒公式247

11.6.1　高阶偏导数247

11.6.2　泰勒公式254

11.7　多元函数的极值与最值259

11.7.1　多元函数的极值259

11.7.2　多元函数的最大值与最小值264

11.7.3　条件极值与拉格朗日乘数法267

11.7.4　最小二乘法272

11.7.5　多元函数微分学在经济中的应用276

11.8　数学模型与数学实验举例282

11.8.1　等值线与等值面的绘制283

11.8.2　壳形舒适座椅图形的绘制284

11.8.3　最小二乘问题288

第11章总习题292

12 重积分295

12.1　二重积分的概念与性质295

12.1.1　二重积分问题的产生295

12.1.2　二重积分的定义297

12.1.3　二重积分的性质300

12.2　二重积分的计算304

12.2.1　二重积分在直角坐标系下的计算方法305

12.2.2　二重积分在极坐标系下的计算方法314

12.2.3　二重积分的换元法则319

12.3　三重积分的概念与性质330

12.3.1　三重积分问题的产生330

12.3.2　三重积分的定义和性质331

12.4　三重积分的计算333

12.4.1　直角坐标系下三重积分的计算334

12.4.2　柱面坐标系下三重积分的计算339

12.4.3　球面坐标系下三重积分的计算344

12.4.4　三重积分的换元法则351

12.5　重积分的应用357

12.5.1　曲面的面积358

12.5.2　质心　一阶矩361

12.5.3　转动惯量　二阶矩368

12.5.4 引力372

12.5.5　广义重积分374

12.6　数学模型与数学实验举例380

第12章总习题382

13 第一型曲线积分与曲面积分386

13.1　第一型曲线积分386

13.1.1　第一型曲线积分问题的产生386

13.1.2　第一型曲线积分的定义387

13.1.3　第一型曲线积分的性质390

13.1.4　第一型曲线积分的计算方法391

13.2　第一型曲面积分399

13.2.1　第一型曲面积分问题的产生400

13.2.2　第一型曲面积分的定义和性质401

13.2.3　第一型曲面积分的计算方法403

13.3　数学模型与数学实验举例410

第13章总习题412

14 第二型曲线积分与曲面积分414

14.1　第二型曲线积分414

14.1.1 向量场414

14.1.2　第二型曲线积分问题的产生417

14.1.3　第二型曲线积分的定义和性质419

14.1.4　第二型曲线积分的计算方法423

14.1.5　两类曲线积分之间的联系427

14.2　格林公式431

14.2.1　格林公式432

14.2.2　平面曲线积分与路径无关的条件440

14.2.3　全微分与全微分求积全微分方程445

14.3　第二型曲面积分457

14.3.1 第二型曲面积分问题的产生457

14.3.2　第二型曲面积分的定义和性质459

14.3.3　第二型曲面积分的计算方法465

14.3.4　两类曲面积分之间的联系470

14.4　高斯公式472

14.4.1　通量和散度473

14.4.2　高斯公式474

14.4.3　无散度场的曲面积分483

14.5　斯托克斯公式488

14.5.1　斯托克斯公式489

14.5.2　环量和旋度492

14.5.3　无旋场的曲线积分496

14.6　数学模型与数学实验举例503

14.6.1　散度及旋度的计算503

14.6.2　小课题研讨（五）：飓风模型504

第14章总习题506

15　傅里叶级数510

15.1 引言510

15.1.1　周期函数510

15.1.2　三角函数系的正交性512

15.2　周期函数的傅里叶级数展开514

15.2.1 周期为2π的函数的傅里叶级数展开514

15.2.2　傅里叶级数的性质521

15.2.3　周期为2l的函数的傅里叶级数展开522

15.3　有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开525

15.3.1　周期延拓525

15.3.2　奇延拓和偶延拓528

15.4　数学模型与数学实验举例531

第15章总习题532

附录Ⅰ 行列式与线性方程组534

Ⅰ.1　行列式534

Ⅰ.1.1　行列式的概念534

Ⅰ.1.2　二阶行列式534

Ⅰ.1.3　三阶行列式与四阶行列式534

Ⅰ.1.4　行列式的主要性质536

Ⅰ.2　线性方程组538

Ⅰ.2.1　克莱姆法则538

Ⅰ.2.2　齐次线性方程组538

附录Ⅱ 习题参考答案541