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第五章 多元函数微分学及其应用1

第一节　预备知识1

1.1　n元（实）函数1

1.2　n元m维向量值函数4

1.3　复变函数4

习题5.16

第二节 极限与连续7

2.1 多元函数的极限与连续7

2.2　复变函数的极限与连续9

习题5.210

第三节 偏导数与全微分11

3.1　偏导数的概念与几何意义11

3.2　高阶偏导数14

3.3　全微分16

习题5.322

第四节 微分运算法则23

4.1 复合函数微分法23

4.2　隐函数微分法29

习题5.434

第五节 方向导数与梯度36

5.1　方向导数36

5.2　梯度38

习题5.540

第六节 多元函数微分学的几何应用41

6.1　空间曲线的切线与法平面41

6.2　空间曲面的切平面与法线44

习题5.646

第七节 多元函数的Taylor公式与极值48

7.1 多元函数的Taylor公式48

7.2　多元函数的极值50

习题5.758

第八节 n元m维向量值函数的微分法59

8.1　偏导数与全微分59

8.2　微分运算法则61

习题5.862

第九节 复变函数的导数与解析函数63

9.1 复变函数导数的概念与性质63

9.2　解析函数67

9.3　初等函数及其简单性质69

习题5.972

第五章总习题73

第六章 多元数量函数的积分学及其应用77

第一节 多元数量函数积分的概念与性质77

1.1　积分的概念77

1.2　积分的性质79

第二节 二重积分的计算80

2.1 直角坐标系下二重积分的计算80

2.2　二重积分换元法85

2.3　极坐标系下二重积分的计算89

习题6.293

第三节 三重积分的计算97

3.1 直角坐标系下三重积分的计算97

3.2　柱面坐标系下三重积分的计算101

3.3　球面坐标系下三重积分的计算103

习题6.3106

第四节 第一型曲线积分的计算108

习题6.4110

第五节 第一型曲面积分的计算111

5.1 曲面面积111

5.2　第一型曲面积分的计算113

习题6.5115

第六节 数量函数积分的应用116

习题6.6119

第六章总习题120

第七章 向量函数的积分124

第一节 第二型曲线积分124

1.1 第二型曲线积分的概念与性质124

1.2　第二型曲线积分的计算127

习题7.1132

第二节 第二型曲面积分133

2.1 有向曲面的概念133

2.2　第二型曲面积分的概念与性质133

2.3　第二型曲面积分的计算137

习题7.2141

第三节 各种积分的关系及其在场论中的应用142

3.1　场的概念142

3.2　两类曲线（面）积分之间的关系144

3.3　Green公式146

3.4　Gauss公式与散度159

3.5　Stokes公式与旋度165

3.6　几种特殊的向量场169

习题7.3174

第七章总习题178

第八章　复变函数的积分181

第一节 复变函数积分的概念与性质181

习题8.1185

第二节 Cauchy积分定理186

习题8.2190

第三节 Cauchy积分公式与高阶导数公式191

习题8.3194

第九章　常数项级数196

第一节 常数项级数的概念与性质196

1.1　常数项级数的概念196

1.2　常数项级数的性质199

习题9.1201

第二节 常数项级数的判敛法202

2.1　正项级数的判敛法202

2.2　交错级数的判敛法209

2.3　常数项级数的绝对收敛与条件收敛210

习题9.2212

第三节 反常积分判敛法214

3.1　无穷区间上反常积分的判敛法214

3.2　无界函数反常积分的判敛法215

3.3　Γ函数216

习题9.3218

第九章总习题219

第十章　函数项级数221

第一节 函数项级数简介221

1.1 函数项级数的基本概念221

1.2　函数项级数的一致收敛性223

习题10.1228

第二节　幂级数228

2.1　幂级数及其收敛性228

2.2　幂级数的运算及其性质233

2.3　函数展开为幂级数235

习题10.2244

第三节 Laurent级数245

3.1　双边无穷级数245

3.2　函数展开为Laurent级数246

习题10.3249

第四节 解析函数的孤立奇点及留数249

4.1　孤立奇点及其分类249

4.2　留数253

4.3　用留数计算某些实积分258

习题10.4261

第五节　Fourier级数263

5.1　Fourier级数的概念263

5.2　函数展开为Fourier级数265

5.3　Fourier级数在频谱分析中的应用272

习题10.5275

第十章总习题276

数学实验278

部分习题参考答案与提示297