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第1章 引论1

1.1　基本符号1

1.2　数值线性代数的标准问题1

1.3　一般的方法2

1.3.1　矩阵分解2

1.3.2　扰动理论和条件数3

1.3.3　舍入误差对算法的影响4

1.3.4　分析算法的速度4

1.3.5　数值计算软件5

1.4　例：多项式求值6

1.5　浮点算术运算8

1.6　再议多项式求值13

1.7　向量和矩阵范数17

1.8　第1章的参考书目和其他话题20

1.9　第1章问题21

第2章 线性方程组求解26

2.1　概述26

2.2　扰动理论26

2.3　高斯消元法32

2.4　误差分析38

2.4.1　选主元的必要性39

2.4.2　高斯消元法正式的误差分析40

2.4.3　估计条件数44

2.4.4　实际的误差界47

2.5　改进解的精度51

2.5.1　单精度迭代精化53

2.5.2　平衡53

2.6　高性能分块算法54

2.6.1　基本线性代数子程序（BLAS）56

2.6.2　如何优化矩阵乘法57

2.6.3　使用3级BLAS改组高斯消元法62

2.6.4　更多的并行性和其他性能问题65

2.7　特殊的线性方程组66

2.7.1　实对称正定矩阵66

2.7.2　对称不定矩阵68

2.7.3　带状矩阵69

2.7.4　一般的稀疏阵72

2.7.5　不超过O（n2）个参数的稠密矩阵79

2.8　第2章的参考书目和其他的话题80

2.9　第2章问题80

第3章 线性最小二乘问题86

3.1　概述86

3.2　解线性最小二乘问题的矩阵分解89

3.2.1　正规方程89

3.2.2　QR分解90

3.2.3　奇异值分解93

3.3　最小二乘问题的扰动理论98

3.4　正交矩阵100

3.4.1　豪斯霍尔德变换100

3.4.2　吉文斯旋转102

3.4.3　正交矩阵的舍入误差分析104

3.4.4　为什么用正交矩阵105

3.5　秩亏最小二乘问题105

3.5.1　用SVD解秩亏最小二乘问题107

3.5.2　用选主元的QR分解解秩亏最小二乘问题110

3.6　最小二乘问题解法的性能比较112

3.7　第3章的参考书目和其他话题113

3.8　第3章问题113

第4章 非对称特征值问题117

4.1　概述117

4.2　典范型117

4.3　扰动理论125

4.4　非对称特征问题的算法129

4.4.1　幂法129

4.4.2　逆迭代131

4.4.3　正交迭代132

4.4.4　QR迭代135

4.4.5　使QR迭代有实效138

4.4.6　海森伯格约化139

4.4.7　三对角和双对角约化140

4.4.8　隐式位移的QR迭代141

4.5　其他的非对称特征值问题146

4.5.1　正则矩阵束和魏尔斯特拉斯典范型146

4.5.2　奇异矩阵束和克罗内克典范型151

4.5.3　非线性特征值问题154

4.6　小结155

4.7　第4章参考书目和其他话题157

4.8　第4章问题157

第5章 对称特征问题和奇异值分解164

5.1　概述164

5.2　扰动理论166

5.3　对称特征问题的算法177

5.3.1　三对角QR迭代178

5.3.2　瑞利商迭代180

5.3.3　分而治之182

5.3.4　对分法和逆达代192

5.3.5　雅可比法195

5.3.6　性能比较199

5.4　奇异值分解算法202

5.4.1　双对角SVD的QR迭代及其变形204

5.4.2　计算双对角SVD达到高的相对精度207

5.4.3　SVD的雅可比法210

5.5　微分方程和特征值问题215

5.5.1　Toda格子216

5.5.2　与偏微分方程的关系220

5.6　第5章参考书目和其他话题221

5.7　第5章问题221

第6章 线性方程组迭代方法225

6.1　概述225

6.2　迭代法的在线（on-line）帮助225

6.3　泊松方程226

6.3.1　一维泊松方程226

6.3.2　二维泊松方程229

6.3.3　用克罗内克积表达泊松方程233

6.4　解泊松方程方法小结235

6.5　基本迭代法236

6.5.1　雅可比法238

6.5.2　高斯-塞德尔法239

6.5.3　逐次超松弛法241

6.5.4　模型问题的雅可比、高斯-塞德尔和SOR（ω）法的收敛性242

6.5.5　雅可比、高斯-塞德尔和SOR（ω）法明细的收敛准则243

6.5.6　切比雪夫加速和对称SOR(SSOR)250

6.6　克雷洛夫子空间方法255

6.6.1　通过矩阵-向量乘法得到关于A的信息256

6.6.2　利用克雷洛夫子空间Kk解Ax=b260

6.6.3　共轭梯度法261

6.6.4　共轭梯度法的收敛性分析265

6.6.5　预条件269

6.6.6　解Ax=b的其他克雷洛夫子空间算法271

6.7　快速傅里叶变换273

6.7.1　离散傅里叶变换275

6.7.2　用傅里叶级数解连续模型问题276

6.7.3　卷积277

6.7.4　计算快速傅里叶变换277

6.8　块循环约化279

6.9　多重网格法282

6.9.1　二维泊松方程多重网格法概述284

6.9.2　一维泊松方程的多重网格法详述287

6.10　区域分解法297

6.10.1　无交叠方法297

6.10.2　交叠方法300

6.11　第6章的参考书目和其他话题305

6.12　第6章问题305

第7章 特征值问题的迭代方法309

7.1　概述309

7.2　瑞利-里茨方法310

7.3　精确算术运算的兰乔斯算法313

7.4　浮点算术运算的兰乔斯算法318

7.5　选择正交化的兰乔斯算法323

7.6　选择正交化之外的方法324

7.7　非对称特征值问题的迭代算法325

7.8　第7章的参考书目和其他话题325

7.9　第7章问题325

参考文献（图灵网站下载）327

索引327